Question

（14分）設橢圓的對稱中心為坐標原點,其中一個頂點為,右焦點與點
的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在經過點的直線,使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足？若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由．

Answer 1

解:（1）依題意,設橢圓方程為,則其右焦點坐標為
,由,得,即
故．又∵,∴,從而可得橢圓方程為．-----------6分
（2）由題意可設直線的方程為,由知點在線段的垂直平分線上,
由消去得,即可得方程（*）
當方程（*）的即時方程（*）有兩個不相等的實數根．
設,,線段的中點,則是方程（*）的兩個不等的實根,故有．從而有 ,．
于是,可得線段的中點的坐標為
又由于,因此直線的斜率為,
由,得，即，解得，∴，
∴綜上可知存在直線：滿足題意．--------------14分

解析