Question

(12分) 如圖，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設=λ，求λ的取值范圍.

Answer 1

.解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，?∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.
∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.     ……2分
設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲線C的方程為+y²="1.                    "                                                                       ……4分
(2)設直線l的方程為y=kx+2,
代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.
Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.由圖可知=λ

由韋達定理得                   ……6分
將x₁=λx₂代入得

兩式相除得            ……8分

                            ①
M在D、N中間，∴λ＜1                                                          ②又∵當k不存在時，顯然λ= (此時直線l與y軸重合).
所以，所求的取值范圍是.                ……12分

解析