Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A'B'C'，AC＝2，BC＝4，∠ACB＝120°，∠ACC'＝90°，且平面AB'C⊥平面ABC，二面角A'﹣AC﹣B'為30°，E、F分別為A'C、B'C'的中點．

（1）求證：EF∥平面AB'C；

（2）求B'到平面ABC的距離；

（3）求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）6（3）．

【解析】

（1）利用線面平行的判定，求得后即可得解；

（2）過作平面,轉化條件后即可得解；

（3）建立空間坐標系，求出兩個面的法向量即可得解.

（1）證明：∵三棱柱中，四邊形是平行四邊形，

，∴是的中點，

∵是的中點，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）過作平面，交延長線于點，

過點作的平行線，交于點，連結，

則是二面角的平面角，

∵,,，且平面平面，二面角為,

∴，，

∴，，

∴，∴，

∴到平面的距離．

（3）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

，，，，

，，，

設平面的法向量，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為．

則．

∴二面角的余弦值為．