Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形， 平面， 是等腰三角形， ， 是的一個三等分點（靠近點），的延長線與的延長線交于點，連接．

（1）求證： ；

（2）求證：在線段上可以分別找到兩點， ，使得直線平面，并分別求出此時的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析， ， .

【解析】試題分析：（1）由題意易證平面，又因為平面，所以.

（2）取線段的中點，連接，作，垂足為，連接，則此時滿足直線平面. 在中，由勾股定理，得，所以.在中，由，得所以.

試題解析：

（1）證明：因為平面， 平面，所以.

因為底面是矩形，所以

又因為，所以平面.

又因為平面，所以.

（2）如圖所示，取線段的中點，連接，

作，垂足為，連接，則此時滿足直線平面.

由（1）得， 平面，又平面，

所以

因為平面，所以

又因為是等腰三角形，所以.

又因為，所以平面.

又因為， ，所以平面.

易知，下面求解：

因為， ，所以可設，則， .

在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.

因為平面，又平面，

所以

的平面圖如圖所示：

在中，由勾股定理，得，

所以.

在中，由，得所以.

綜上，在線段上可以分別找到兩點， ，使得直線平面，

并且此時，