Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形，側面PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐B﹣EFC的體積；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且 ，

又AE∥CD且 ，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD

（2）解：取AD中點O，連結PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且 ，

又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離 ，

故

（3）解：連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，

在Rt△EBC中， ，∴ ，

∴ ，即二面角P﹣EC﹣D的正切值為

【解析】（1）取PD中點G，連結GF、AG，由三角形中位線定理可得GF∥CD且 ，再由已知可得AE∥CD且 ，從而得到EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，然后利用線面平行的判定可得EF∥面PAD；（2）取AD中點O，連結PO，由面面垂直的性質可得PO⊥面ABCD，且 ，求出F到面ABCD距離 ，然后利用等積法求得三棱錐B﹣EFC的體積；（3）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．進一步證得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值．