Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓的兩交點間距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設是橢圓上的一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，若直線的斜率均存在，并分別記為，求證：為定值.

（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值；（3）為定值，定值為25．

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式求得，由橢圓過點，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）利用點到直線距離公式，同理求得：，則，是方程的兩個不相等的實根，根據韋達定理即可求得為定值；

（3）將直線和的方程，代入橢圓方程，即可求得和點坐標，根據兩點之間的距離公式，由，即可求得為定值．

解：（1）由橢圓的離心率，則，

由直線過點，代入，解得：，則，

橢圓的標準方程：；

（2）證明：由直線，直線，

由直線為圓的切線，

，，

同理可得：，

，是方程的兩個不相等的實根，

由，△，則，

由，在橢圓上，即，

，

為定值；

（3）經判斷為定值，

設，，，，

聯立，解得，

，

同理，得，

由，

得，

，

，

，

為定值，定值為25．