Question

【題目】已知函數f（x），g（x）1．

（1）若f（a）＝2，求實數a的值；

（2）判斷f（x）的單調性，并證明；

（3）設函數h（x）＝g（x）（x＞0），若h（2t）+mh（t）+4＞0對任意的正實數t恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝log23；（2）函數f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞減，證明見解析（3）[﹣3，+∞）．

【解析】

（1）根據f（a）＝2，代入解析式求解.

（2）函數f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞減，用單調性的定義證明.

（3）化簡得到，將0對任意的正實數t恒成立，通過換元，μ∈（2，+∞），轉化為μ2+mμ+2＞0對任意μ∈（2，+∞）恒成立，即對任意μ∈（2，+∞）恒成立，再求解最大值即可.

（1）∵，

∴2a＝3，

∴a＝log23；

（2）函數f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞減，

證明如下：

函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

因為f（-x）

所以f（x）是奇函數

任取且

，

因為

所以

因為

所以

所以

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

又因為f（x）是奇函數

故函數f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞減；

（3），，

∴0對任意的正實數t恒成立，

令，則μ∈（2，+∞），

∴μ2+mμ+2＞0對任意μ∈（2，+∞）恒成立，

即對任意μ∈（2，+∞）恒成立，

又在（2，+∞）上單調遞減，故，

則m≥﹣3，即實數m的取值范圍為[﹣3，+∞）．