Question

【題目】已知等差數列中，公差，其前項和為，且滿足：．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）通過公式構造一個新的數列．若也是等差數列，求非零常數；

（Ⅲ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）

【解析】

試題

（1）由等差數列的性質可得a2＋a3＝14，解方程組可得a2＝5，a3＝9，于是可求得首項和公差，從而可得通項公式．（2）由題意得Sn＝2n2－n，故，根據數列為等差數列可得2b2＝b1＋b3，計算可得．經驗證可得滿足題意．（3）由（2）可得，故可根據基本不等式求最值．

試題解析：

(1)∵數列{an}是等差數列．

∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，

由，解得或．

∵公差d>0，

∴a2＝5，a3＝9．

∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．

∴．

(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，

∴．

∵數列{bn}是等差數列，

∴2b2＝b1＋b3，

∴2·＝＋，

解得 (c＝0舍去)．

∴．

顯然{bn}成等差數列，符合題意，

∴．

(3)由（2）可得

，當且僅當，即時等號成立．

∴f(n)的最大值為．