Question

【題目】對于函數(shù)與常數(shù)，若恒成立，則稱為函數(shù)的一個“P數(shù)對”，設(shè)函數(shù)的定義域為，且。

（1）若是的一個“P數(shù)對”，且，求常數(shù)的值；

（2）若（1，1）是的一個“P數(shù)對”，且在上單調(diào)遞增，求函數(shù)在上的最大值與最小值；

（3）若（－2，0）是的一個“P數(shù)對”，且當(dāng)時，，求k的值及在區(qū)間上的最大值與最小值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用f（2）＝6，f（4）＝9，建立方程組，即可求常數(shù)a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)的定義得到，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，，進而得到結(jié)果.（3）令x＝1，則f（1）＝k﹣1＝3，解得k＝4，當(dāng)x∈[1，2）時f（x）＝4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]．利用由已知，f（2x）＝﹣2f（x）恒成立⊕，將[1，2n）分解成[2k﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通過⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值范圍，各段上最大值、最小值即為所求的最大值，最小值．

（1）由題意知，即，

解得：；

（2）是的一個“P數(shù)對”

，故

在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

綜上，當(dāng)時，

故最大值6，最小值3

（3）當(dāng)時，，

令，可得，解得，

所以，時，，故在上的取值范圍是。

又是的一個“P數(shù)對”，故恒成立，

當(dāng)時，＝…＝，

故k為奇數(shù)時，在上的取值范圍是；

當(dāng)k為偶數(shù)時，在上的取值范圍是，

所以當(dāng)n＝1時，在上的最大值為4，最小值為3；

當(dāng)n為不小于3的奇數(shù)時，在上的最大值為，最小值為；

當(dāng)n為不小于2的偶數(shù)時，在上的最大值為，最小值為。