Question

【題目】如圖，某旅游區擬建一主題游樂園，該游樂區為五邊形區域ABCDE，其中三角形區域ABE為主題游樂區，四邊形區域為BCDE為休閑游樂區，AB、BC，CD，DE，EA，BE為游樂園的主要道路（不考慮寬度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．

（1）求道路BE的長度；
（2）求道路AB，AE長度之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接BD，

在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BCCDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣ ）=3，

∴BD= ，

∵BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD= =30°，

又∵∠CDE=120°，

∴∠BDE=90°，

∴在Rt△BDE中，BE= = =2

（2）解：設∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，

在△ABE中，由正弦定理，可得： ，

∵ =4，

∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，

∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα

=4（ ）+4sinα

=2 cosα+6sinα

=4 sin（α+30°），

∵0°＜α＜120°，

∴30°＜α+30°＜150°，

∴當α+30°=90°，即α=60°時，AB+AE取得最大值4 km，即道路AB，AE長度之和的最大值為4 km

【解析】（1）連接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB=∠CBD=30°，∠CDE=120°，可得∠BDE=90°，利用勾股定理即可得解BE的值．（2）設∠ABE=α，由正弦定理，可得AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得AB+AE=4 sin（α+30°），結合范圍30°＜α+30°＜150°，利用正弦函數的性質可求
AB+AE的最大值，從而得解．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．