Question

【題目】設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.

(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率；

(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1).(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù) ，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．

（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

試題解析：

(1)由已知得x>0.

當(dāng)a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，

所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.

(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋

＝＝.

由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.

①當(dāng)0<a<1時，

當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

此時x＝a時f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)．

②當(dāng)a>1時，

當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

此時x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)；

當(dāng)a>1時，x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．