Question

【題目】已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在（0， ）上無零點，求a最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，

則f′（x）=1﹣ ，由f′（x）＞0，得x＞2，

由f′（x）＜0，得0＜x＜2，

故f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞）．

（2）解：因為f（x）＜0在區間（0， ）上恒成立不可能，

故要使函數f（x）在（0， ）上無零點，只要對任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，

即對x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立．

令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），

則l′（x）= ，

再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），

則m′（x）=﹣ + = ＜0，

故m（x）在（0， ）上為減函數，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，

從而l（x）＞0，于是l（x）在（0， ）上為增函數，

所以l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣ 恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

綜上，若函數f（x）在（0， ）上無零點，則a的最小值為2﹣4ln2．

【解析】（1）先求出函數f（x）的導數，再令f′（x）＞0得單調增區間，令f′（x）＜0得單調減區間；（2）先將已知轉化為恒成立問題，再利用導數可得函數的單調性，進而可得a的取值范圍，從而可得a的最小值．