Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒成立？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出的值并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）在和上單調(diào)遞增（2）存在，，證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，，設(shè)，由恒成立，即可得到本題答案；

（2）當(dāng)時(shí)，，則，求的最大值，可確定a的取值范圍；當(dāng)時(shí)，，則，求的最小值，可確定a的取值范圍，綜上，即可得到本題答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

令，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴，

∴恒成立，

∴時(shí)，恒成立.

∵恒成立，

∴在和上單調(diào)遞增.

（2）①當(dāng)時(shí)，，則，

令，則，

再令，則，

故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞增，，所以.

②當(dāng)時(shí)，，則.

由①知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以.

綜合①②得：.