Question

【題目】已知數列的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中每一行的第一個數構成等差數列，是的前項和，且，.

(1)若數陣中從第3行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知，求的值；

(2)設，當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）160；（2）或.

【解析】

試題（I）由等差數列{bn}滿足b1=a1=1，S5=15．求出數列的公差后，可得數列的通項公式，結合數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，a9=16，可求出公比，進而求出a50的值；

（Ⅱ）由（1）求出Sn的表達式，利用裂項相消法求出Tn的表達式，進而將不等式恒成立問題，轉化為最值問題，利用導數法，可得答案．

試題解析：

(1)設等差數列的公差為，∵，，

∴，.

∴，

設從第3行起，每行的公比都是，且，，，.

，故是數陣中第10行的第5個數.

故.

(2)∵，

∴

；

令，

則

當時，，在上為減函數，

∴為遞減數列，的最大值為.

∴不等式變為恒成立，設，，

則，即，解得或.