Question

【題目】已知二次函數，關于實數的不等式的解集為．

（1）當時，解關于的不等式：；

（2）是否存在實數，使得關于的函數（）的最小值為？若存在，求實數的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．（2）

【解析】

試題分析：（1）由二次不等式解集與二次方程根的關系得：的兩根為和，且，從而，解得，再化簡不等式，因式分解：，最后根據兩根2與大小關系，分三種情況討論不等式解集（2）先化簡函數，為一元二次函數，其中，再根據對稱軸與定義區間位置關系研究函數最小值：因為，所以當時，取最小值

試題解析：（1）由不等式的解集為知，關于的方程的兩根為和，且，

由根與系數關系，得∴

所以原不等式化為，

①當時，原不等式化為，且，解得或；

②當時，原不等式化為，解得且；

③當時，原不等式化為，且，解得或；

綜上所述：

當時，原不等式的解集為；

當時，原不等式的解集為．

（2）假設存在滿足條件的實數，

由（1）得：，，

．

令（），則，（），

對稱軸，

因為，所以，，

所以函數在單調遞減，

所以當時，的最小值為，解得．