Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P（4，0），M，N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知 ，所以 ，即a2=4b2 ， ∴a=2b
又因為 ，∴a=2，故橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y=k（x﹣4）．
由 得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴
又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是： ．
（Ⅲ）設點N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），則M（x1 ， ﹣y1）．
直線ME的方程為 ．令y=0，得 ．
將y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得 ．②
由①得 ， 代入②整理，得x=1．
所以直線ME與x軸相交于定點（1，0）
【解析】（Ⅰ）由題意知 ，所以a2=4b2 ， 由此可知橢圓C的方程為 ．（Ⅱ）由題意知直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為y=k（x﹣4）．由題設得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直線PN的斜率的取值范圍是： ．（Ⅲ）設點N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），則M（x1 ， ﹣y1）．直線ME的方程為 ．令y=0，得 ．由此入手可知直線ME與x軸相交于定點（1，0）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線的斜率的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα．