Question

【題目】無窮數列滿足：，且對任意正整數，為前項，，…，中等于的項的個數.

（1）直接寫出，，，；

（2）求證：該數列中存在無窮項的值為1；

（3）已知，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析過程；

（3）

【解析】

（1）根據題意直接求解即可；

（2）運用反證法證明即可；

（3）先求出前若干項發現規律，分類討論求親解即可.

（1）因為，所以由題意可得：；

（2）假設中只出現有限個1，當妨設最后出現1的項是第項，即.

當時，顯然，若是數列中，最大的項，所以數列中存在無數項是相等的，不妨設下標由小及大的這些項為：，

設數列中，等于的項共有項，到，所以有

，這與相矛盾，故假設中只出現有限個1不成立，即該數列中存在無窮項的值為1；

（3）通過計算可求出數列前30項值如下：

通過上表可知：從第11項起有以下規律：

，

當時，；

當時，

；

當時，

；

當時，

；

當時，

；

當時，

當時，

綜上所述：