Question

【題目】如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）證明：直線平面

（2）求直線與平面所成的角的大小；

（3）求平面與平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .(3)

【解析】

（1）取CD中點O,連接MO，由面面垂直的性質定理得到線面垂直，再由線面平行的判定定理即證明MOAB，得到線面平行；

（2）取中點，連，，以為原點，直線、、為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，從而得到與平面的法向量的坐標，再求線面角的正弦值，從而得到線面角的大小；

（3）分別求出兩個面的法向量，再求法向量夾角的余弦值，進而得到二面角的余弦值，最后利用同角三角函數的基本關系得到二面角的正弦值.

（1）取CD中點O,連接MO，平面平面，則平面，

平面，所以MOAB.

又面MCD，面MCD,所以面MCD.

（2）取中點，連，，則，，

又平面平面，則平面.

以為原點，直線、、為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系如圖.

，則各點坐標分別為，，，，，

設直線與平面所成的角為，

因為，平面的法向量為，

則有，所以.

（3），.設平面的法向量為，

由得.解得，，取，

又平面的法向量為，則

設所求二面角為，則.