Question

【題目】某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買x臺(tái)機(jī)器人的總成本為萬元．

（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺(tái)？

（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購(gòu)買機(jī)器人，需要安排m人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀（如圖）．經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為，（單位：件）．已知傳統(tǒng)的人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？

Answer 1

【答案】（1）300臺(tái)；（2）.

【解析】

（1）由總成本萬元，可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；
（2）引進(jìn)機(jī)器人后，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量，分段求出300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值及所用人數(shù)，再由最大值除以1200，可得分揀量達(dá)最大值時(shí)所需傳統(tǒng)分揀需要人數(shù)，則答案可求．

解：（1）由總成本萬元，

可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本：

．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立．
∴若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)買300臺(tái)；
（2）引進(jìn)機(jī)器人后，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量，
當(dāng)時(shí)，300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為，
∴當(dāng)時(shí)，日平均分揀量有最大值144000．
當(dāng)時(shí)，日平均分揀量為480×300＝144000．
∴300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件．
若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數(shù)為人．
∴日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少．