Question

如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四邊形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥B₁C₁；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B₁=2，且∠B₁A₁C₁=120°，求多面體ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取B₁C₁的中點D，連接CD、A₁D，由已知得四邊形CDB₁B是平行四邊形，CD∥AA₁，AA₁⊥B₁C₁，B₁C₁⊥A₁D，由此能證明A₁C⊥B₁C₁．
（Ⅱ）由已知得平面ABC∥平面A₁B₁D，從而多面體ABC-A₁B₁D是三棱柱，由此能求出多面體ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取B₁C₁的中點D，連接CD、A₁D，因為BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC，
所以CB∥DB₁，∴CB=DB₁，
∴四邊形CDB₁B是平行四邊形，（1分）
又AA₁B₁B是矩形，∴CD∥AA₁，（2分）
因為側面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，AA₁⊥A₁B₁，
∴AA₁⊥底面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁C₁，（3分）
因為點D是B₁C₁的中點，
∴B₁C₁⊥A₁D，（4分）
又A₁D∩AA₁=A₁，∴B₁C₁⊥平面AA₁DC，（5分）
∴A₁C⊥B₁C₁；（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：CD∥AA₁∥BB₁，且CD=AA₁=BB₁，
∵AB∥A₁B₁，BC∥B₁D₁，（7分）
∴平面ABC∥平面A₁B₁D，（8分）
∴多面體ABC-A₁B₁D是三棱柱，（9分）
又AA₁⊥底面A₁B₁C₁，
∵AA₁=AB=2，∠B₁A₁C₁=120°，
∴A1D=1，B1D=

3

，（10分）
∴三棱柱ABC-A₁B₁D的體積V1=

1

2

A1D•B1D•AA1=

3

，（11分）
∵B₁C₁⊥平面AA₁CD，
∴四棱錐C₁-AA₁CD的體積V1=

1

3

•A1D•AA1•C1D=

2 3

3

，（12分）
∴多面體ABC-A₁B₁C₁的體積為

5 3

3

．（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查多面體的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．