Question

（2009•上海模擬）{a_n}是無窮數列，已知a_n是二項式（1+2x）ⁿ（n∈N*）的展開式各項系數的和，記Pn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，則

lim

n→∞

Pn=

1

2

．

Answer 1

分析：由題意可得a_n=3ⁿ，利用等比數列的前n項和公式求出P_n，再利用數列極限的運算法則求出結果．

解答：解：由題意可得a_n=3ⁿ，∴Pn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1- 1 3n

2

，
∴

lim

n→∞

Pn=

lim

n→∞

1- 1 3n

2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查二項式定理，等比數列的前n項和公式，求數列極限的方法，求出P_n=

1- 1 3n

2

，是解題的難點和關鍵．