Question

若a，b，c為關于x的方程x³-x²-x+m=0的三個實根，則m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：利用導數，判斷出函數的極值點，用極值解決根的存在與個數問題．

解答： 解：令函數y=x³-x²-x，
則y′=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
當x＜-

1

3

時，y′＞0，y=x³-x²-x單調遞增，
當-

1

3

＜x＜1時，y′＜0，y=x³-x²-x單調遞減，
當x＞1時，y′＞0，y=x³-x²-x單調遞增，
關于x的方程x³-x²-x+m=0的三個實根要有三個不等實根，
則y=x³-x²-x的圖象與y=-m的圖象有三個交點，
即y|x=-

1

3

＞-m＞y|x=1，
即-

5

27

＜m＜1，
即m的最小值為-

5

27

，
故答案為：-

5

27

點評：學會用導數及單調性處理根的存在與個數問題，極值的正負是解決此問題的關鍵．是中檔題．