Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓過點，離心率；點在橢圓上，延長與橢圓交于點，點是中點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若是坐標原點，記與的面積之和為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依題意，根據題設條件，列出關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）由題意，求得，當直線的斜率不存在時，求得；當直線的斜率存在時，設方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得弦長公式和點到直線的距離公式，得出面積，利用二次函數的性質，即可求解.

（1）依題意，，則，解得，，.

故橢圓的方程為；.

（2）由分別為的中點，故.

故與同底等高，故，，

當直線的斜率不存在時，其方程為，此時.

當直線的斜率存在時，設其方程為：，

設，顯然直線不與軸重合，即，

聯立解得，

則，故，

故，

點到直線的距離，

所以，令，

故，

故的最大值為.