Question

【題目】已知橢圓：，點為橢圓外一點，過點向橢圓作兩條切線，當兩條切線相互垂直時，點在一個定圓上運動，則該定圓的方程為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設點，分兩種情況討論，一是直線的斜率存在且非零時，得出；二是當直線的斜率不存在或斜率等于零時，P也符合上述關系，從而求得結果.

設點，當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則有直線的方程為，

與橢圓方程聯立得：，

整理得：，

因為直線與橢圓相切，所以，

即，

，

因橢圓外一點所引的兩條切線互相垂直，則有，

而為方程的兩根，

故，整理得：；

當直線的斜率不存在或斜率等于零時，易得點P的坐標為，顯然也滿足方程，

綜合以上討論得，對任意的兩條互相垂直的切線，點P的坐標均滿足方程，

故所求的定圓的方程為.