Question

【題目】已知數列，若對于任意數列滿足，則稱數列為“數列”．

（Ⅰ）已知數列：，，是“數列”，求實數的取值范圍．

（Ⅱ）是否存在首項為的等差數列為“數列”，且前項和滿足，若存在，求出的通項公式，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）已知各項均為正整數的等比數列是“數列”，數列不是“數列”，若數列，試判斷數列是否“數列”，并且說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）當時，數列為“數列”，當時，數列不是“數列”．

【解析】

（Ⅰ）利用“K數列”定義得到即得m的取值范圍. （Ⅱ）假設存在等差數列符合要求，設公差為，則，找到矛盾，得到不存在這樣的數列. （Ⅲ）由各項均為正整數的等比數列是“數列”得到，再由數列不是“數列”得到即得，所以，或，．再分別判斷數列是否“數列”.

（I）根據題意得：，

∴，

∴，

故實數的取值范圍是．

（II）假設存在等差數列符合要求，設公差為，則，由，得，

根據題意得對均成立，

即，

①當時，．

②當時，，

因為，

所以，與矛盾，

故這樣的的等差數列不存在．

（III）設數列的公比為，則，

因為的每一項均為正整數，且，

所以且，

因為，

所以在中，“”為最小項，

同理，在中，“”為最小項，

由為“數列”，只需，

即：，

又因為不是“數列”且“”為最小項，

所以，即：，

由數列的每一項均為正整數，可得，

所以，或，．

①當，時，，則，

令，

又，

所以為遞增數列，即：，

所以，

因為，所以對任意的，都有，

即數列為“數列”．

②當，時，，則，

因為，

所數數列不是“數列”，

綜上所述，當時，數列為“數列”，

當時，數列不是“數列”．