Question

【題目】已知數列的各項均為正數，前項和為，首項為2．若對任意的正整數，恒成立．

（1）求，，；

（2）求證：是等比數列；

（3）設數列滿足，若數列，，…，（，）為等差數列，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）,，；（2）詳見解析；（3）3.

【解析】

（1）由題意利用賦值法，對m，n進行賦值，可得a2，a3，a4；

（2）取m＝1，得，取m＝2，得．兩式相除，得，（n∈N*）．結合，可得{Sn+2}是首項為4，公比為2的等比數列，求得．進一步求得．利用定義證得{an}是等比數列；

（3）由（2）知，，設，，成等差數列，則.

得到，分t＝r+1和t＝r+2兩類分析得答案．

（1）由，對任意的正整數，恒成立

取，得，

即，得.

取，，得，

取，，得，

解得，.

（2）取，得，

取，得，

兩式相除，得，即，即 .

由于，所以對任意均成立，

所以是首項為4，公比為2的等比數列，

所以，即.

時，，

而也符合上式，所以 .

因為（常數），所以是等比數列.

（3）由（2）知，.

設，，成等差數列，則.

即，

整理得，.

若，則，

因為，所以只能為2或4，所以只能為1或2.

若，則.

因為，故矛盾.

綜上，只能是，，，成等差數列或，，成等差數列，其中為奇數.

所以的最大值為3.