Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率為．

（1）設過點的直線與橢圓相交于、兩點，若的中點恰好為點，求該直線的方程；

（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根據橢圓上的點和離心率求出橢圓方程，結合點差法解決中點弦問題，求出直線斜率，求解直線方程；

（2）設直線的方程，聯立直線和橢圓，根據交點坐標關系，求出線段的垂直平分線方程，得出的表達式，利用函數關系求解取值范圍.

（1）由題意，得，解得

所以橢圓的標準方程是．

設點，，則

兩式相減得，

又，，代入得，即，

故所求直線的方程是，即．

（2）（i）當直線與軸垂直時，，符合題意．

（ii）當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，．

聯立方程

消去，可得，易知．

設，，線段的中點為，

則，，

所以，

所以線段的中點的坐標為．

由題意可知，，，

故直線的方程為．

令，得，即．

當時，得，當且僅當時等號成立；

當時，得，當且僅當時等號成立．

綜上所述，實數的取值范圍為．