Question

對(duì)?x₁，x₂∈（0，

π

2

），若x₂＞x₁，且y₁=

1+sinx1

x1

，y₂=

1+sinx2

x2

，則（　�。�

• A、y₁=y₂
• B、y₁＞y₂
• C、y₁＜y₂
• D、y₁，y₂的大小關(guān)系不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=

1+sinx

x

，x∈（0，

π

2

），需要兩次求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性即可得到．

解答： 解：設(shè)函數(shù)f（x）=

1+sinx

x

，x∈（0，

π

2

），
則f′（x）=

xcosx-(1+sinx)

x2

，
令u（x）=xcosx-（1+sinx），則u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，
∴u（x）在x∈（0，

π

2

）單調(diào)遞減，∴u（x）＜u（0）=-1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，

π

2

）單調(diào)遞減，
∵x₂＞x₁，∴y₁=

1+sinx1

x1

＞y₂=

1+sinx2

x2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造函數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．