Question

若函數f（x）和g（x）滿足：①在區間[a，b]上均有定義；②函數y=f（x）-g（x）在區間[a，b]上至少有一個零點，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上具有關系G．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=3-x，試判斷f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有關系G，并說明理由；
（2）若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有關系G，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）先判斷它們具有關系G，再令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，利用函數零點的判定定理判斷．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，當m≤0時，易知h（x）在[1，4]上不存在零點，當m＞0時，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；再分段討論函數的零點即可．

解答： 解：（1）它們具有關系G：
令h（x）=f（x）-g（x）=lgx+x-3，
∵h（1）=-2＜0，h（4）=lg4+1＞0；
故h（1）•h（4）＜0，又h（x）在[1，4]上連續，
故函數y=f（x）-g（x）在區間[a，b]上至少有一個零點，
故f（x）和g（x）在[1，4]上具有關系G．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=2|x-2|+1-mx²，
當m≤0時，易知h（x）在[1，4]上不存在零點，
當m＞0時，h（x）=

-mx2+2x-3，2＜x≤4 -mx2-2x+5，1≤x≤2

；
當1≤x≤2時，
由二次函數知h（x）在[1，2]上單調遞減，
故

-m+3≥0 -4m+1≤0

；
故m∈[

1

4

，3]；
當m∈（0，

1

4

）∪（3，+∞）時，
若m∈（0，

1

4

），則h（x）在（2，4]上單調遞增，
而h（2）＞0，h（4）＞0；
故沒有零點；
若m∈（3，+∞），則h（x）在（2，4]上單調遞減，
此時，h（2）=-4m+1＜0；
故沒有零點；
綜上所述，
若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx²在[1，4]上具有關系G，
則m∈[

1

4

，3]．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力與分段函數的應用，屬于基礎題．