Question

【題目】已知雙曲線：的焦距為，直線（）與交于兩個不同的點、，且時直線與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若坐標原點在以線段為直徑的圓的內部，求實數的取值范圍；

（3）設、分別是的左、右兩頂點，線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，求證：線段在軸上的射影長為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求得雙曲線的，由等邊三角形的性質可得，的方程，結合，，的關系求得，，進而得到雙曲線的方程；

（2）設，，，，聯立直線和，應用韋達定理和弦長公式，設的中點為，求得的坐標，由題意可得，應用兩點的距離公式，解不等式可得所求范圍；

（3）求得，的坐標和的坐標，求得的垂直平分線方程和的方程，聯立解得的坐標，求出，即可得證．

解：（1）當直線與的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據雙曲線的性質得，，又焦距為，則，

解得，，則所求雙曲線的方程為.

（2）設，，由，得，

則，，且，

又坐標原點在以線段為直徑的圓內，則，即，

即，即，

則， 即，則或，

即實數的取值范圍.

（3）線段在軸上的射影長是. 設，由（1）得點，

又點是線段的中點，則點，

直線的斜率為，直線的斜率為 ，又，

則直線的方程為，即，

又直線的方程為，聯立方程，

消去化簡整理，得，又，

代入消去，得，

即，則，

即點的橫坐標為，

則. 故線段在軸上的射影長為定值.