Question

【題目】已知點是橢圓上一動點，點分別是左、右兩個焦點.面積的最大值為，且橢圓的長軸長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點，在橢圓上，已知兩點，，且以為直徑的圓經過坐標原點.求證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意建立方程求出，即可得到橢圓方程；

（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當直線MN斜率不存在時易求三角形面積，當直線MN斜率存在時，設聯立橢圓，根據弦長公式及點到直線的距離求三角形面積即可.

（1）由題意知，當點在短軸端點時，面積的最大值為，

所以，解得或，

因為，所以，所以.

所以橢圓標準方程為；

（2）以為直徑的圓經過坐標原點，則，

又，所以.

①當直線的斜率不存在時，由題意知，

又，所以，；

②當直線的斜率存在時，設其方程為，

聯立，得.

則，

所以，

代入整理得：，

此時，

點到直線的距離，所以，

綜上, 的面積為定值.