Question

【題目】如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（1）求證：CD⊥平面ABD；
（2）若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A﹣MBC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵CD⊥BD，AB∩BD=B，

∴CD⊥平面ABD；

（2）解：∵AB⊥平面BCD，BD平面BCD，

∴AB⊥BD．

∵AB=BD=1，

∴S△ABD= ，

∵M為AD中點，

∴S△ABM= S△ABD= ，

∵CD⊥平面ABD，

∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABMCD=

【解析】（1）證明：CD⊥平面ABD，只需證明AB⊥CD；（2）利用轉換底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABMCD，即可求出三棱錐A﹣MBC的體積．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．