Question

【題目】如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2， ，P是BC的中點． （Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明：取AB的中點F，連接PF，EF． 又∵P是BC的中點，∴ ．
∵ ，ED∥AC，
∴ ，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴PD∥EF．
而EF平面EAB，PD平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以點A為坐標原點，直線AB為x軸，AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則z軸在平面EACD內．則A（0，0，），B（2，0，0）， ， ．
∴ ， ．
設平面EBD的法向量 ，由 ，得 ，
取z=2，則 ，y=0．∴ ．
可取 作為平面ABC的一個法向量，
∴ = = = ．
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為 ．

【解析】（I）取AB的中點F，連接PF，EF．利用三角形的中位線定理可得 ．再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形，可得PD∥EF．利用線面平行的判定定理即可得出；（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．