Question

已知圓O的弦CD與直徑AB垂直并交于點F，點E在CD上，且AE=CE．
（1）求證：CA²=CE•CD；
（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）由⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，根據垂徑定理，易證得∠C=∠D，又由AE=CE，根據等邊對等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可證得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論；
（2）求出DE，可得EF，在Rt△AFE中，求sin∠EAF．

解答： （1）證明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直徑AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

=

CE

CA

，
即CA²=CE•CD；
（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，
∴DE=2，
∴EF=DF-DE=0.5，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

0.5

3

=

1

6

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、垂徑定理、等腰三角形的性質以及三角函數的定義