Question

已知函數f（x）=|x-a|-1，其中a＞1．
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（Ⅱ）已知關于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤1的解集為{x|

1

2

≤x≤1}，求a的值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥5，運用零點分區間，求出不等式|x-2|+|x-4|≥5的解集即可；
（Ⅱ）設h（x）=f（2x+a）-2f（x），運用分段函數表示h（x），由|h（x）|≤1解得

a-1

2

≤x≤

a

2

，它與

1

2

≤x≤1等價，然后求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥5，
當x≤2時，得-2x+6≥5，解得x≤

1

2

；
當2＜x＜4時，得2≥5，無解；
當x≥4時，得2x-6≥5，解得x≥

11

2

；
故不等式的解集為{x|x≥

11

2

或x≤

1

2

}．
（II）令h（x）=f（2x+a）-2f（x）=|2x|-|2x-2a|+1，
則h(x)=

-2a+1，(x≤0) 4x-2a+1，(0＜x＜a) 2a+1，(x≥a)

由|h（x）|≤1，可得

a-1

2

≤x≤

a

2

，
又解集為{x|

1

2

≤x≤1}，
則有

a-1 2 = 1 2 a 2 =1

，
解得a=2．

點評：本題是中檔題，考查絕對值不等式的解法，注意分類討論思想的應用，考查計算能力，常考題型．