Question

【題目】某公司生產一種產品，從流水線上隨機抽取100件產品，統計其質量指數并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

產品的質量指數在的為三等品，在的為二等品，在的為一等品，該產品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5,5.5（單位：元），以這100件產品的質量指數位于各區間的頻率代替產品的質量指數位于該區間的概率.

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該公司為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用和年銷售量 數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值.

16.30	24.87	0.41	1.64

表中，，，

根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程.

（ⅰ）建立關于的回歸方程；

（ⅱ）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤-營銷費用，取）

參考公式：對于一組數據：，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為，

Answer 1

【答案】(1) 平均銷售利潤為4元.

(2) （ⅰ）（ⅱ）投入256萬元營銷費，能使得該產品一年的收益達到最大768萬元

【解析】

(1) 設每件產品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5,3.5,5.5,求出相應的概率值，得到分布列與期望值；

(2) （ⅰ）由得，，令，，，則，利用表中數據求出即可；（ⅱ）設年收益為萬元，則，利用導函數即可得到結果.

（1）設每件產品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5,3.5,5.5

由直方圖可得：一、二、三等品的頻率分別為0.4,0.45,0.15，

所以，

，

,

所以：隨機變量的分布列為：

	1.5	3.5	5.5
P	0.15	0.45	0.4

所以，

故每件產品的平均銷售利潤為4元.

（2）（ⅰ）由得，，

令，，，則，

由表中數據可得，，

則

所以，，即

因為，所以

故所求的回歸方程為

（ⅱ）設年收益為萬元，則

設，，則

當時，，在單調遞增，

當時，，在單調遞減.

所以，當，即時，有最大值為768

即該廠應投入256萬元營銷費，能使得該產品一年的收益達到最大768萬元.