Question

【題目】若橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是橢圓上的一點，在軸上的射影恰為橢圓的左焦點，與中心的連線平行于右頂點與上頂點的連線，且左焦點與左頂點的距離等于，試求橢圓的離心率及其方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：根據條件可得點P的坐標，由與中心的連線平行于右頂點與上頂點的連線可得b＝c，故a＝c，e＝＝，又a－c＝－，可得a＝，c＝，因此b＝，從而可得橢圓的標準方程。

試題解析：

設橢圓的標準方程為，

當，可得，

∴y2＝b2(1－)＝，

∴y＝±，

不妨設點P的坐標為(－c，)，

由條件可得橢圓的右頂點A(a,0)，上頂點B(0，b)，

∵OP∥AB，

∴kOP＝kAB，

∴－＝－，

∴b＝c.

又a2＝b2＋c2＝2c2，

∴a＝c，

∴e＝＝，

又a－c＝－，

解得a＝，c＝，

∴b＝，

∴所求橢圓的離心率為，標準方程為＋＝1.