Question

【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E為OB中點,OA=AD=2AB=2,OB=.

(1)求證:平面OAD⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-AC-E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)根據已知條件，判斷出OA⊥BC與OA⊥AB，進而判斷平面和平面的垂直。

(2)建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，求出兩個平面的法向量，進而利用兩個平面的法向量求出兩個平面的二面角大小。

(1)證明∵BC⊥平面OAB,OA平面OAB,

∴OA⊥BC.又OA=2AB=2,OB=,

在△OAB中,OA2+AB2=OB2,

∴OA⊥AB,∴OA⊥平面ABCD.

又OA平面OAD,∴平面OAD⊥平面ABCD.

(2)解由(1)知OA,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,分別以AD,AB,AO所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系

,則A(0,0,0),C(2,1,0),O(0,0,2),B(0,1,0),E=(2,1,0),.

設平面AEC的法向量n=(x,y,z),

則

取x=1,得n=(1,-2,1).

又平面ABC的法向量m=(0,0,1),

cos<m,n>=.

∴二面角B-AC-E的余弦值為.