Question

如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點,

F為AE的中點.現在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:

(1)在線段AB上是否存在一點K,使BC∥平面DFK?若存在,請證明你的結論;若不存在,請說明理由.

(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求證:平面BDE⊥平面ADE.

Answer 1

【解析】(1)線段AB上存在一點K,且當AK=AB時,BC∥平面DFK,

證明如下:

設H為AB的中點,連接EH,則BC∥EH,

又因為AK=AB,F為AE的中點,

所以KF∥EH,所以KF∥BC,

因為KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,所以BC∥平面DFK.

(2)因為F為AE的中點,DA=DE=1,所以DF⊥AE.

因為平面ADE⊥平面ABCE,所以DF⊥平面ABCE,

因為BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.

又因為在折起前的圖形中E為CD的中點,AB=2,BC=1,所以在折起后的圖形中:AE=BE=,

從而AE²+BE²=4=AB²,所以AE⊥BE,

因為AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE,

因為BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.