Question

在二項(xiàng)式(

x

+

2

4 x

)n的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  4

• C、

  1

  3

• D、

  5

  12

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì),排列組合,二項(xiàng)式定理

分析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到n的值，由通項(xiàng)公式可得展開式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求出9項(xiàng)的全排列數(shù)，由插空排列求出有理項(xiàng)都互不相鄰的排列數(shù)，最后由古典概型概率計(jì)算公式得答案．

解答：解：∵二項(xiàng)式(

x

+

2

4 x

)n的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式共有9項(xiàng)，則n=8．
其通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

2

4 x

)r=2r•

C

r 8

•x

16-3r

4

，
當(dāng)r=0，4，8時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)．
展開式的9項(xiàng)全排列共有

A

9 9

種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔即可，有

A

6 6

•

A

3 7

種．
∴有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為

A 6 6 • A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查簡單的排列組合知識，訓(xùn)練了利用古典概型概率計(jì)算公式求概率，是中檔題．