Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，畫出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）圖象見解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）見解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的表達式，并將該函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用翻折變換可得出函數(shù)的圖象，并利用圖象得出該函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的交點個數(shù)，結(jié)合（1）中的圖象，可得出實數(shù)在不同取值下函數(shù)的零點個數(shù).

（1）當時，.

令，即，得；

令，即，得.

，函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2）令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù).

如上圖所示，當時，函數(shù)的零點個數(shù)為；

當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為；

當時，函數(shù)的零點個數(shù)為.