Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若為線段上的一點，滿足直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設與相交于點，連接，證明，得到答案.

（2）先證明兩兩垂直，如圖所示建立直角坐標系，分別計算法向量，利用夾角公式得到答案.

（3）設，則，利用夾角公式計算得到答案.

（1）設與相交于點，連接，

∵四邊形為菱形，∴，且為中點，∵，

∴

又，

∴平面.

（2）連接，∵四邊形為菱形，且，

∴為等邊三角形，∵為中點，∴

又，

∴平面. ∵兩兩垂直

∴建立空間直角坐標系，如圖所示：

∵四邊形為菱形，， ，∴.

∵為等邊三角形，∴.

∴，

∴，

設平面的法向量為，則

令，則，得

設平面的法向量為，則，

令，則，得

所以

又因為二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.

（3）設

則

所以

化簡得

解得：或（舍） 所以.