Question

【題目】市場上有一種新型的強力洗衣粉，特點是去污速度快，已知每投放（且）個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可能達幾分鐘？

（2）若先投放2個單位的洗衣液，6分鐘后投放個單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續有效去污，試求的最小值（精確到0.1，參考數據： 取）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）當時，代入，依題意有效去污滿足，即或，解得，故有效去污時間可能達分鐘；（2）由于某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和，故設項對應的濃度為，此時， ， ， ，令，將濃度相加，得，分離參數得，利用換元法和基本不等式求得，故的最小值為.

試題解析：

（1）由題意知有效去污滿足，則或

得，所以有效去污時間可能達8分鐘.

（2）， ， ，

令， ，

∴，若令， ，

又，

所以的最小值為1.6.