Question

【題目】已知圓M的方程為x2+y2-2x-2y-6=0，以坐標原點O為圓心的圓O與圓M相切．

（1）求圓O的方程；

（2）圓O與x軸交于E，F兩點，圓O內的動點D使得DE，DO，DF成等比數列，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=2 （2）[1，0）

【解析】

（1）化簡圓M的方程為：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6＝0，為標準方程，求出圓心和半徑，判定圓心O在圓M內部，因而內切，用|MN|＝R﹣r，求圓O的方程；

（2）根據圓O與x軸交于E、F兩點，圓內的動點D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數列，列出關系，再求的取值范圍；

（1）圓M的方程可整理為：（x1）2+（y-1）2=8，

故圓心M（1，1），半徑R=2．

圓O的圓心為O（0，0），

因為|MO|=＜2，所以點O在圓M內，

故圓O只能內切于圓M．

設其半徑為r．因為圓O內切于圓M，

所以有：|MO|=|R-r|，即=|2r|，解得r=或r=3（舍去）；

所以圓O的方程為x2+y2=2．

（2）由題意可知：E（，0），F（，0）．

設D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比數列，

得|DO|2=|DE|×|DF|，

即：×=x2+y2，

整理得：x2y2=1．

=（，y）（，y）=x2+y22=2y21，

由于點D在圓N內，

故有，由此得y2＜，

∴的取值范圍是[1，0）．