Question

【題目】已知函數，其最小正周期為 ．

（1）求 的表達式；

（2）將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數 的圖象，若關于 的方程 在區間 上有解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[]

【解析】

⑴利用三角函數的恒等變換化簡函數的表達式為，再根據的最小正周期求得的值，從而得到的表達式

⑵根據函數的圖象變換規律，可得，由題意可得與在區間上有解，結合正弦函數的圖像求得答案

（1）

又的最小正周期，所以，所以，

所以．

（2）將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象；再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到的圖象，

所以，

當 時，，

易知當，即 時，遞增，且，

當，即 時，遞減，且．

又 在區間 上有實數解，

即函數與的圖象在區間 上有交點，

所以。

解得 所以實數的取值范圍是[]