Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=AB=AC，BC= AB，且AA1⊥平面ABC，點M、Q分別是BC、CC1的中點，點P是棱A1B1上的任一點．

（1）求證：AQ⊥MP；
（2）若平面ACC1A1與平面AMP所成的銳角二面角為θ，且cosθ= ，試確定點P在棱A1B1上的位置，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，BC= AB，

∴由已知得AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又AA1⊥平面ABC，∴AA1，AB，AC兩兩垂直，

如圖，

以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，

設AB=1，則A（0，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），M（ ， ，0），Q（0，1， ），

設P（x0，0，1），（0≤x0≤1），

=（0，1， ）， =（ ，﹣ ，1），

∵ =0﹣ + =0，∴ ⊥ ，

∴AQ⊥MP

（2）解：由已知得AB⊥平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1的一個法向量為 =（1，0，0），

=（ ， ，0）， =（x0，0，1），

設平面AMP的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，﹣x0），

∵平面ACC1A1與平面AMP所成的銳角二面角為θ，且cosθ= ，

∴cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

解得x0= ，

∴P（ ，0,1），∴P是棱A1B1的中點．

【解析】（1）由勾股定理得AB⊥AC，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AQ⊥MP．（2）求出平面ACC1A1的一個法向量和平面AMP的一個法向量，利用向量法能求出P（ ,0,1），P是棱A1B1的中點．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．