Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于

3

，過右焦點F₂的直線l交雙曲線于A、B兩點，F₁為左焦點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若△F₁AB的面積等于6

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得離心率e=

c

a

=2且b=

3

，結合c²=a²+b²聯解得a=1，即得雙曲線的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程：y=k（x-2）．由雙曲線方程與直線l方程消去y，得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系和△F₁AB的面積等于6

2

，建立關于k的方程并解出k的值，即得直線l的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為bx±ay=0，
∴雙曲線焦點（±c，0）到漸近線的距離為

|bc|

b2+a2

=b=

3

又∵雙曲線離心率e=

c

a

=2
∴c=2a，平方得c²=a²+b²=a²+3=4a²，解得a=1
因此，雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由右焦點F₂（2，0）設直線l方程：y=k（x-2）
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

消去y，得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0
根據題意知k≠±

3

，由根與系數的關系得：x₁+x₂=

4k2

k2-3

，x₁x₂=

4k2+3

k2-3

，y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴△F₁AB的面積S=c|y₁-y₂|=2|k||x₁-x₂|=2|k|•

(4k2)2-4(k2-3)(4k2+3)

|k2-3|

=2|k|•

k2+1

|k2-3|

=6

3

兩邊去分母并且平方整理，得k⁴+8k²-9=0，解之得k²=1（舍負）
∴k=±1，得直線l的方程為y=±（x-2）

點評：本題給出雙曲線的焦點到漸近線的距離和雙曲線的離心率，求雙曲線的方程并探索焦點弦截得的三角形面積問題，著重考查了雙曲線的標準方程、簡單幾何性質和直線與雙曲線位置關系等知識點，屬于中檔題．