Question

（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，定點A（2，π），動點B在直線ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

上運動，則線段AB的最短長度為

 

（不等式選講選做題）設函數f（x）=|x-1|+|x-2|，則f（x）的最小值為

 

（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長為6，其外接圓的半徑長為5，則三角形ABC的面積是

 

．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數的和角公式展開曲線C的極坐標方程的左式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．將直線的極坐標方程化成直角坐標方程，再在直角坐標系中算出點到直線的距離，即線段AB的最短長度．
（2）先看1≤x≤2求得f（x）的值，再看x＜1時，f（x）的解析式為直線方程，單調減，進而求得函數的值域；最后看x＞2時，函數的解析式為直線方程，單調增，利用x的范圍判斷出函數的值域；最后綜合求得答案．
（3）如圖由等腰三角形的外心在三角形的底邊的高上，根據勾股定理求出OD的長，進一步求出BD的長，根據三角形的面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）直線 ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

的直角坐標方程為：
x+y-1=0，
定點A（2，π）的直角坐標（-2，0），
它到直線的距離：
d=

|-2-1|

2

=

3 2

2

．
則線段AB的最短長度為

3 2

2

．
故答案為：

3 2

2

．
解：（2）當1≤x≤2時，f（x）=2-x+x-1=1
當x＜1時，f（x）=1-x-x+2=-2x+1＞1
當x＞2時，f（x）=x-1+x-2=2x-3＞1
∴函數f（x）的最小值為1
故答案為：1
解：（3）連接OB交AC于D，連接OC，
∵圓O是等腰三角形的外接圓，O是外心，
∴BD⊥AC，AD=DC=3，
如圖，可求OD=4，
BD=5-4=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×1=3；
故答案為：3．

點評：（1）本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程，屬于基礎題．能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．
（2）本題主要考查了函數的值域問題．解題過程采用了分類討論的思想，也可采用數形結合的方法，畫出函數的圖象，觀察出函數的最小值．
（3）本題主要考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點，解此題的關鍵是求出高BD的長度．此題用的數學思想是分類討論思想．題目較好．