Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點E為棱PC的中點．

1證明：；

2求BE的長；

3若F為棱PC上一點，滿足，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)．(3)．

【解析】

1以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出，，由，能證明．

2由，能求出BE的長．

3由，求出，進而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．

1證明：底面ABCD，，

以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，

建立空間直角坐標系，

由題意,

，，

，．

2解：因為，

的長為．

3解：，

，由點F在棱PC上，設，，

，

，，解得，

設平面FBA的法向量為，

則，

取，得，

取平面ABP的法向量，

則二面角的平面角滿足：

，

二面角的余弦值為．