Question

【題目】在棱長為1的正方體中，點是對角線上的動點（點與不重合），則下列結論正確的是__________

①存在點，使得平面平面；

②存在點，使得平面平面；

③的面積可能等于；

④若分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點，使得

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據正方體的結構特征，利用線面位置關系的判定定理和性質定理，以及三角形的面積公式和投影的定義，即可求解，得到答案.

①如圖所示，當是中點時，可知也是中點且，，，所以平面，所以，同理可知，

且，所以平面，

又平面，所以平面平面，故正確；

②如圖所示，取靠近的一個三等分點記為，記，，因為，所以，所以為靠近的一個三等分點，

則為中點，又為中點，所以，且，，，所以平面平面，且平面，

所以平面，故正確；

③如圖所示，作，在中根據等面積得：，

根據對稱性可知：，又，所以是等腰三角形，

則，故正確；

④如圖所示，設，在平面內的正投影為，在平面內的正投影為，所以，，當時，解得：，故正確.

故答案為 ①②③④